분할 정복 심화: 분할 정복을 활용한 고급 문제 풀이

분할 정복(Divide and Conquer) 알고리즘은 문제를 더 작은 하위 문제로 나누어 해결하는 기법입니다. 이 방법은 재귀적 성질을 가지고 있으며, 주로 시간 복잡도를 줄이고 큰 문제를 효율적으로 해결할 수 있습니다.

특히 거듭제곱 계산, 최대 구간 합 문제, 행렬 곱셈 최적화와 같은 문제들에서 주로 사용됩니다.

분할 정복은 문제를 작은 단위로 나누어 문제를 해결하기 때문에, 많은 경우 시간 복잡도를 획기적으로 줄일 수 있습니다. 예를 들어, 배열의 원소를 분할하여 정렬하는 병합 정렬(Merge Sort)의 시간 복잡도는 $$O(n \log n)$$입니다.

분할 정복의 일반적인 시간 복잡도는 다음과 같은 재귀 관계식으로 표현됩니다:

$$T(n) = a \cdot T\left(\frac{n}{b}\right) + f(n)$$

여기서:

• a: 하위 문제의 개수
• b: 각 하위 문제의 크기 비율
• f(n): 분할 및 병합에 필요한 추가 작업

이 관계식을 사용해 분할 정복 알고리즘의 시간 복잡도를 분석할 수 있습니다.

분할 정복을 활용한 거듭제곱 계산은 큰 수의 거듭제곱을 효율적으로 구하는 대표적인 예제입니다. 일반적인 거듭제곱 계산은 시간 복잡도가 $$O(n)$$이지만, 분할 정복을 사용하면 이를 $$O(\log n)$$으로 줄일 수 있습니다.

풀이 접근:

• 1️⃣ 지수를 2로 나누어 분할하고, 재귀적으로 각 부분을 계산합니다.
• 2️⃣ n이 짝수일 경우, $$x^n = (x^{n/2})^2$$을 이용합니다.
• 3️⃣ n이 홀수일 경우, $$x^n = x \cdot (x^{(n-1)/2})^2$$을 이용합니다.

Python 코드 예제:
def power(x, n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n % 2 == 0:
        half = power(x, n // 2)
        return half * half
    else:
        half = power(x, (n - 1) // 2)
        return half * half * x

# 예제 사용
print(power(2, 10))  # 출력: 1024
                

설명: 이 함수는 분할 정복을 통해 지수를 절반으로 줄이며, 각 단계에서 곱셈을 통해 결과를 계산합니다. 시간 복잡도는 $$O(\log n)$$이 되어 큰 수의 거듭제곱을 매우 효율적으로 계산할 수 있습니다.

최대 구간 합 문제는 배열에서 연속된 부분 배열의 합이 최대가 되는 값을 찾는 문제로, 분할 정복을 통해 시간 복잡도를 $$O(n \log n)$$으로 줄일 수 있습니다.

풀이 접근:

• 1️⃣ 배열을 절반으로 나누어, 왼쪽과 오른쪽 부분으로 나눕니다.
• 2️⃣ 왼쪽 구간 합, 오른쪽 구간 합, 중간을 가로지르는 구간 합을 각각 구하여 최대 값을 계산합니다.
• 3️⃣ 각 하위 문제에서 최대 구간 합을 계산하여 병합합니다.

Python 코드 예제:
def max_crossing_sum(arr, left, mid, right):
    # 왼쪽 구간 최대 합 계산
    left_sum = float('-inf')
    sum = 0
    for i in range(mid, left - 1, -1):
        sum += arr[i]
        if sum > left_sum:
            left_sum = sum

    # 오른쪽 구간 최대 합 계산
    right_sum = float('-inf')
    sum = 0
    for i in range(mid + 1, right + 1):
        sum += arr[i]
        if sum > right_sum:
            right_sum = sum

    return left_sum + right_sum

def max_subarray_sum(arr, left, right):
    if left == right:
        return arr[left]

    mid = (left + right) // 2
    return max(max_subarray_sum(arr, left, mid),  # 왼쪽 구간 최대 합
               max_subarray_sum(arr, mid + 1, right),  # 오른쪽 구간 최대 합
               max_crossing_sum(arr, left, mid, right))  # 중간을 가로지르는 최대 합

# 예제 사용
arr = [2, -4, 3, -1, 2, -4, 5, -3]
print(max_subarray_sum(arr, 0, len(arr) - 1))  # 출력: 최대 구간 합
                

설명: 이 알고리즘은 배열을 절반으로 나눈 후, 각 구간에 대해 최대 구간 합을 계산하여 병합합니다. 중간을 가로지르는 구간을 포함하는 최대 합을 계산하기 위해 max_crossing_sum 함수를 사용하며, 이를 통해 효율적으로 최대 구간 합을 찾습니다.